Question

已知矩形紙片的長為4，寬為3，以長所在的直線為軸，為坐標原點建

立平面直角坐標系；點是邊上的動點（與點不重合），現將沿翻折

得到，再在邊上選取適當的點將沿翻折，得到，使得

直線重合．

（1）若點落在邊上，如圖①，求點的坐標，并求過此三點的拋物線的函數關系式；

（2）若點落在矩形紙片的內部，如圖②，設當為何值時，取得最大值？

（3）在（1）的情況下，過點三點的拋物線上是否存在點使是以為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點的坐標

 

Answer 1

解：（1）由題意知，均為等腰直角三角形，

可得

 

設過此三點的拋物線為則

過三點的拋物線的函數關系式為

（2）由已知平分平分且重合，則

又

．

．

即

當時，有最大值

（3）假設存在，分兩種情況討論：

①當時，由題意可知，且點在拋物線上，故點與點重合，所求的點為（0，3）

②當時，過點作平行于的直線，假設直線交拋物線于另一點點，直線的方程為，將直線向上平移2個單位與直線重合，直線的方程為

由得或

又點

故該拋物線上存在兩點滿足條件．