Question

8、下列命題：
①若a+b+c=0，則b²-4ac＜0；
②若b=2a+3c，則一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數根；
③若b²-4ac＞0，則二次函數y=ax²+bc+c的圖象與坐標軸的交點的個數是2或3；
④若b＞a+c，則一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數根．
其中正確的是（　　）

A、②④

B、①③

C、②③

D、③④

Answer 1

分析：①首先把a+b+c=0變形為b=-a-c，然后代入b²-4ac中利用完全平方公式即可解決問題；
②首先b=2a+3c代入方程的判別式中，然后利用非負數的性質即可解決問題；
③由于b²-4ac＞0，所以拋物線與x軸有兩個不同的交點，由此即可判定此結論是否正確；
④由于b＞a+c，只要給出一個反例即可解決問題．

解答：解：①∵a+b+c=0，∴b=-a-c，∴b²-4ac=（-a-c）²-4ac=a²+2ac+c²-4ac=a²-2ac+c²=（a-c）²≥0，故錯誤；
②∵b=2a+3c，∴b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=4a²+12ac+9c²-4ac=4a²+8ac+9c²=4（a+c）²+5c²＞0，∴一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數根，故正確；
③∵b²-4ac＞0，∴拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴二次函數y=ax²+bc+c的圖象與坐標軸的公共點的個數是3或2，故正確；
④∵b＞a+c，那么設b=2，a=-4，c=-2，∴b²-4ac=4-32＜0，∴一元二次方程ax²+bx+c=0沒有有實數根，故錯誤．
故選C．

點評：此題主要利用了二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交點的個數的判斷．