Question

附加題：如圖，在平面直角坐標系中，A點的坐標為（4，0），點P是直線y=-

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x+4在第一象限上的一點，O是原點．
（1）設P點的坐標為（x，y），△OPA的面積為S，試求S關于x的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）是否存在點P，使PO=PA？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）△OPA的面積等于OA與點P的縱坐標的乘積的一半，所以S=

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 ×y×4=2y=-x+8；
（2）根據題中條件，保持OP=AP，則過P做OA垂線PD，則D坐標為（2，0），可以算出P點坐標．

解答：解：（1）過P點作PD⊥x軸于D
∵P點在直線y=-

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x+4上第一象限內的一點，且坐標為（x，y）
∴PD=|y|=|-

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x+4|=-

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x+4（2分）
∵A點的坐標為（4，0）∴OA=4
∴△OPA的面積為
S=

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OA×PD=

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×4×(-

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x+4)=-x+8(0＜x＜8)．（4分）

（2）假設存在這樣的點P，過P點作PD⊥x軸于D
當OP=AP時，則OD=AD=

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OA=2，
∴PD=-

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×2+4=3
∴在第一象限存在1個點P（2，3），使OP=AP．（4分）

點評：本題主要考查對于一次函數圖形的應用以及等腰三角形性質的掌握．