Question

已知△ABC，取三邊中點，連接三個中點構成第一個中點三角形，再取第一個中點三角形三邊中點，連接三個中點得到第二個中點三角形…依此類推，當得到第n個中點三角形時，所有這些三角形都相似，此時第n個中點三角形與△ABC周長的比是

，面積的比是

．

Answer 1

分析：根據題意找規律：中點三角形與原三角形相似，從而根據相似比推出周長比和面積比．

解答：解：因為第一個中點三角形與△ABC相似，所以根據三角形中位線定理得到相似比是

1

2

，面積的比是相似比的平方是

1

4

．則第一個中點三角形的周長是△ABC的周長的

1

2

，同理，第二個中點三角形的周長是第一個的

1

2

，即△ABC的周長的

1

22

，第三個是△ABC的周長的

1

23

；第n個是與△ABC周長的比

1

2n

；同理，面積的比是

1

22n

．

點評：本題考查對相似三角形性質的理解．（1）相似三角形周長的比等于相似比．（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方．