Question

已知：如圖，BC為⊙O的弦，OA⊥BC于E，交⊙O于A，AD⊥AC于A，∠D=2∠B=60°．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）當BC=6時，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連OC，由垂徑定理得到AB=AC，這樣可求出∠OCA和∠ACD，就可得到∠OCD=90°．
（2）通過圖形變換，陰影部分的面積等于三角形ADC的面積，求出△ACD的面積即可．

解答：（1）證明：連OC，
∵BC為⊙O的弦，OA⊥BC于E，
∴BE=CE．
∴AC=AB．
∴∠CBA=∠BCA，而AD⊥AC，∠D=2∠B=60°．
∴∠BCA=30°，∠ACD=30°．
∴∠EAC=60°．
∴∠OCA=60°．
∴∠OCD=90°．
∴CD為⊙O的切線．

（2）∵AB=AC，
∴弓形AB和弓形AC的面積相等．
∴陰影部分的面積=直角三角形ADC的面積．
又∵BC=6，
∴CE=3．
在直角三角形CEA中，∠ACE=30°，
∴AC=2

3

．
在直角三角形CDA中，∠ACD=30°，
∴AD=2．
所以三角形ADC的面積等于2

3

，即陰影部分的面積為2

3

．

點評：熟練掌握切線的判定定理．記住含30°的直角三角形三邊的比為1：

3

：2．學會把不規則的幾何圖形轉化為規則的幾何圖形．