Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊順次為a、b、c，∠C=90°．若關于x的方程c（x²+1）-2

2

bx-a（x²-1）=0的兩根平方和為10，則

b

a

的值為

 

．

Answer 1

分析：將原方程整理為一元二次方程的一般形式，設方程兩根為x₁，x₂，再根據(jù)兩根平方和為10，列出等式并變形，將兩根關系整體代入即可．

解答：解：原方程整理為（c-a）x²-2

2

bx+（c+a）=0，
設x₁，x₂是方程的兩個根，則x₁²+x₂²=10，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，
把方程根公式代入，得
（

2 2 b

c-a

）²-2×

c+a

c-a

=10，即4b²-（c²-a²）=5（c-a）²，
由勾股定理得：c²-a²=b²，代入以上方程整理后有
3b²=5（c-a）²．
∵c是斜邊，
∴c＞a，兩邊開平方，得

3

b+

5

a=

5

c，
兩邊同時平方得，
3b²+5a²+2

15

ab=5c²，
再次將勾股定理代入得，
3b²+5a²+2

15

ab=5a²+5b²，
2b²=2

15

ab，
∴

b

a

=

15

．
故答案為：

15

．

點評：本題考查了三角形的邊角關系，根與系數(shù)關系，勾股定理的運用．關鍵是根據(jù)題意得出x₁²+x₂²=10，將等式變形，將根與系數(shù)關系代入，結合勾股定理求解．