Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．

（1）求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），聯(lián)結(jié)PC．當(dāng)∠PCB=∠ACB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于軸的方向向下平移，平移后的拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，當(dāng)OD⊥DQ時(shí)，求拋物線平移的距離．

Answer 1

【答案】（1）（2，-1）（2）P（，）．（3）．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法即可求得拋物線的表達(dá)式，利用頂點(diǎn)公式即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥PN，交NP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得為等腰直角三角形，利用等量代換證得∠OCA=∠PCM，利用這對(duì)角的正切函數(shù)得到MC=3PM，設(shè)PM=a，則MC=3a，PN=3-a，得P（3a，3-a）代入拋物線的表達(dá)式，即可求得答案；

（3）設(shè)D的坐標(biāo)為（2，），過(guò)點(diǎn)D作直線EF∥x軸，交y軸于點(diǎn)E，交PQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，利用∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°，證得∠EOD=∠QDF，再根據(jù)其正切函數(shù)列出等式即可求得答案.

（1）∵A的坐標(biāo)為（1，0），對(duì)稱軸為直線x=2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）

將A（1，0）、B（3，0）代入，得

解得：

所以，．

當(dāng)x=2時(shí)，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1） ．

（2）過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N．過(guò)點(diǎn)C作CM⊥PN，交NP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．

∵∠CON=90°，∴四邊形CONM為矩形．

∴∠CMN=90°，CO= MN．

∵，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）

∵B（3，0），

∴OB=OC．

∵∠COB=90°，

∴∠OCB=∠BCM = 45°，

又∵∠ACB=∠PCB，

∴∠OCB-∠ACB =∠BCM -∠PCB，即∠OCA=∠PCM．

∴tan∠OCA= tan∠PCM．

∴．

設(shè)PM=a，則MC=3a，PN=3-a．

∴P（3a，3-a）．

將P（3a，3-a）代入，得

．

解得，（舍）．∴P（，）．

（3）設(shè)拋物線平移的距離為m．得，

∴D的坐標(biāo)為（2，）．

過(guò)點(diǎn)D作直線EF∥x軸，交y軸于點(diǎn)E，交PQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

∵∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°，

∴∠EOD+∠ODE = 90°，∠ODE+∠QDF = 90°，

∴∠EOD=∠QDF，

∴tan∠EOD = tan∠QDF．

∴．

∴．

解得．

所以，拋物線平移的距離為．