Question

【題目】如圖，⊙O中，點A為中點，BD為直徑，過A作AP∥BC交DB的延長線于點P．

（Ⅰ）求證：PA是⊙O的切線；

（Ⅱ）若BC=2，AB=2，求sin∠ABD的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（Ⅰ）根據垂徑定理得出AO⊥BC，進而根據平行線的性質得出AP⊥AO，即可證得結論；

（Ⅱ）根據垂徑定理得出BE=，在Rt△ABE中，利用銳角三角函數關系得出sin∠BAE=，再根據等腰三角形的性質得出∠ABD=∠BAE，即可求得求sin∠ABD=sin∠BAE=．

詳解：（Ⅰ）證明：連結AO，交BC于點E．

∵點A是的中點

∴AO⊥BC，

又∵AP∥BC，

∴AP⊥AO，

∴AP是⊙O的切線；

（Ⅱ）解：∵AO⊥BC，BC=2，

∴BE=BC＝，

又∵AB=6

∴sin∠BAE=，

∵OA=OB

∴∠ABD=∠BAO，

∴sin∠ABD=sin∠BAE=．