Question

如圖所示，半徑為2的⊙O內有互相垂直的兩條弦AB、CD相 交于P點。
（1）求證：PA·PB=PC·PD；
（2）設BC中點為F，連結FP并延長交AD于E，求證：EF⊥AD；
（3）若AB=8，CD=6，求OP的長。

Answer 1

解：（1） ∵∠A、∠C所對的圓弧相同，
∴∠A=∠C，
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴，
∴PA·PB=PC·PD；
（2）∵F為BC的中點，△BPC為Rt△，
∴FP=FC，
∴∠C=∠CPF，
又∠C=∠A，∠DPE=∠CPF，
∴∠A=∠DPE，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠DPE+∠D=90°，
∴EF⊥AD；
（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， 由垂徑定理，
∴OM²=（2）²-4²=4，ON2=（2）²-3²=11，
又易證四邊形MONP是矩形MONP矩形，
∴OP=。