【題目】如圖①，已知點
為正方形
的對角線的交點，點
是對角線
上的一個動點（點不與
重合），分別過點向直線
作垂線，垂足分別為點
，連接
和
.
（1）求證：
；
（2）如圖②，延長正方形對角線
，當點運動到的延長線上時，通過證明判斷（1）中的結論是否仍然成立；
（3）若點在射線
上運動，
，求線段的長.
【答案】（1）見解析；（2）
仍然成立；證明見解析；（3）OE的長為
或
.
【解析】
（1）延長EO交CF于點G，易證
和
，所以
，
即點O為EG的中點，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答；
（2），仍然成立，延長EO和FC，相交于點G，方法同（1）即可證明；
（3）要分類討論，①當點P在線段OA上時，易得
，所以
，在
中， 
，所以
；當點P在線段OA的延長線上時，方法同①即可解答.
（1）證明：如圖，延長EO交CF于點G，
∵點O為正方形ABCD的對角線的交點，
，
，
，
，
在
和△
中，
，
，
，
即點O為EG的中點，
在中，
是斜邊EG上的中線，
，
；
（2），仍然成立，
證明：如圖，延長EO和FC，相交于點G，
∴點O為正方形ABCD的對角線的交點，
，
，
，
在和中，，
，
，
即點O為EG的中點，
在
中，
是斜邊EG上的中線，
，
仍然成立；
（3）解：①當點P在線段OA上時，如圖
，
.
易得，
.
在中，
，
；
②當點P在線段OA的延長線上時，如圖.
，.
同理可得
.
在中，，
，
.
綜上可知，OE的長為或.
同步練習強化拓展系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】小穎的奶奶想用鐵絲網在自家門前圍一塊面積為4平方米的矩形菜園，并且用最少的鐵絲網，因此小穎進行了如下探究活動．
活動一：（1）設矩形菜園的一邊長為x米，鐵絲網長為y米．
①用含x的代數式表示矩形菜園另一邊長為_____________米；
②y關于x的函數解析式是______________
活動二：（2）①列表：根據(1)中所求的函數關系式計算并補全下圖．(y精確到0.1)
②描點：根據表中數值，在平面直角坐標系中描出①中剩下的兩個點(x，y)．
③連線：在平面直角坐標系中，請用平滑的曲線畫出該函數的圖象．
數學思考：（3）①請你根據函數圖象，寫出該函數的兩條性質或結論．
②根據以上信息可得，當x=_____________時，y有最小值．由此可知，小穎的奶奶至少需要買_____________米的鐵絲網．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知二次函數
在
和
時的函數值相等．
（1）求二次函數的解析式；
（2）若一次函數
的圖象與二次函數的圖象都經過點A
，求m和k的值；
（3）設二次函數的圖象與x軸交于點B,C（點B在點C的左側），將二次函數的圖象在點B,C間的部分（含點B和點C）向左平移
個單位后得到的圖象記為C，同時將（2）中得到的直線向上平移n個單位．請結合圖象回答：當平移后的直線與圖象G有公共點時，n的取值范圍．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直線 y=x+1 與 y 軸交于點 A1，以 OA1為邊,在 y 軸右側作正方形 OA1B1C1，延長 C1B1交直線 y=x+1 于點 A2，再以 C1A2為邊作正方形，…，這些正方形與直線 y=x+1 的交點分別為 A1，A2，A3，…，An，則點 Bn 的坐標為_______．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO是邊長為4的正方形，點D為AB的中點，點P為OB上的一個動點，連接DP，AP，當點P滿足DP+AP的值最小時，直線AP的解析式為_____．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，甲、乙兩人在玩轉盤游戲時，分別把轉盤A，B分成3等份和1等份，并在每一份內標上數字．游戲規則：同時轉動兩個轉盤，當轉盤停止后，指針所在區域的數字之積為奇數時，甲獲勝；當數字之積為偶數時，乙獲勝．如果指針恰好在分割線上時，則需重新轉動轉盤．
（1）利用畫樹狀圖或列表的方法，求甲獲勝的概率．
（2）這個游戲規則對甲、乙雙方公平嗎？若公平，請說明理由；若不公平，請你在轉盤A上只修改一個數字使游戲公平（不需要說明理由）．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】李叔叔和張阿姨栽樹．李叔叔栽6棵樹所用的時間與張阿姨栽5棵樹所用的時間相同，已知李叔叔比張阿姨平均每天多栽20棵樹．
（1）求李叔叔平均每天栽樹的棵數；
（2）由李叔叔和張阿姨同時栽樹1540棵，要幾天完成？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡．
（1）如圖1，矩形ABCD的頂點A、D在圓上, B、C兩點在圓內，已知圓心O，請僅用無刻度的直尺作圖，請作出直線l⊥AD；
（2）請僅用無刻度的直尺在下列圖2和圖3中按要求作圖．（補上所作圖形頂點字母）
①圖2是矩形ABCD，E，F分別是AB和AD的中點，以EF為邊作一個菱形；
②圖3是矩形ABCD，E是對角線BD上任意一點（BE＞DE），以AE為邊作一個平行四邊形．
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