Question

如圖，已知CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點M，點P是上一點，且∠BPC=60°．
（1）判斷△ABC的形狀，并說明你的理由；
（2）若DM=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，根據垂徑定理，即可得AC=BC，然后由圓周角定理，即可求得∠BAC=60°，根據等邊三角形的判定定理，即可證得△ABC是等邊三角形；
（2）首先連接OA，AD，即可證得△OAD是等邊三角形，然后根據含30°的直角三角形的性質，即可求得AD的長，繼而可得⊙O的半徑．
解答：解：（1）△ABC是等邊三角形．
理由：∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，
∴=，
∴AC=BC，
∵∠BPC=60°，
∴∠BAC=∠BPC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．

（2）連接OA，AD，
∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，
∴∠CAD=90°，∠DCA=∠BCA=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠MAD=30°，△AOD是等邊三角形，
∵DM=2，
∴AD=2DM=4，
∴OD=4，
∴⊙O的半徑為4．
點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質以及直角三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．