Question

（2013•松江區二模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，點D在邊AC上，△ABD沿BD翻折，點A與BC邊上的點E重合，過點B作BG∥AC交AE的延長線于點G，交DE的延長線于點F．
（1）當∠ABC=60°時，求CD的長；
（2）如果AC=x，AD=y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數定義域；
（3）聯結CG，如果∠ACB=∠CGB，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）通過解Rt△ABC求得AC=4

3

；然后由折疊的性質得到∠ABD=30°，則AD=ABtan30°=

4 3

3

，故CD=AC-AD=

8 3

3

；
（2）易證△CED∽△CAB，則該相似三角形的對應邊成比例：

ED

AB

=

CE

CA

；根據折疊的性質得到：ED=AD=y，EC=BC-AB=BC-4，又由勾股定理知BC=

AB2+AC2

=

16+x2

，所以，把相關線段的長度代入比例式可以求得y=

4 16+x2 -16

x

（x＞0）；
（3）過點C作CH⊥BG，垂足為H．通過△ABD∽△BGA的對應邊成比例得到

AB

BG

=

AD

BA

，即

4

2x

=

4 16+x2 -16 x

4

，解得x=2

5

（負值已舍），即AC=2

5

．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∵AB=4，
∴AC=ABtan60°=4

3

．
由翻折得∠ABD=30°，得AD=ABtan30°=

4 3

3

，
∴CD=AC-AD=

8 3

3

；

（2）由翻折得∠BED=∠BAD=90°，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠CAB，
又∵∠DCE=∠DCE，
∴△CED∽△CAB，
∴

ED

AB

=

CE

CA

，
∵根據折疊的性質得到：ED=AD=y，EC=BC-AB=BC-4，
又由勾股定理知BC=

AB2+AC2

=

16+x2

，
∴

y

4

=

16+x2 -4

x

，
∴y=

4 16+x2 -16

x

（x＞0）；

（3）過點C作CH⊥BG，垂足為H．
∵BG∥AC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠CGB，
∴∠2=∠CGB，
∴CB=CG．
∴BH=HG=AC=x，∴BG=2x．
∵AE⊥BD，
∴∠5+∠6=∠6+∠7=90°，
∴∠5=∠7．
又∵∠BAC=∠ABG=90°，
∴△ABD∽△BGA，
∴

AB

BG

=

AD

BA

，即

4

2x

=

4 16+x2 -16 x

4

，
解得x=2

5

（負值已舍），即AC=2

5

．

點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質，翻轉折疊以及待定系數法求一次函數解析式．折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．