Question

已知A、D是一段圓弧上的兩點，且在直線l的同側，分別過這兩點作l的垂線，垂足為B、C，E是BC上一動點，連接AD、AE、DE，且∠AED=90°。

（1）如圖（1），如果AB=6，BC=16，且BE∶CE=1∶3，求AD的長；
（2）如圖（2），若點E恰為這段圓弧的圓心，則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關系？請寫出你的結論并予以證明。再探究：當A、D分別在直線l兩側且AB≠CD，而其余條件不變時，線段 AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關系？請直接寫出結論，不必證明。

Answer 1

解：（1）∵AB⊥l于B，DC⊥l于C，
∴∠ABE=∠ECD=90°，
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°，
且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠BEA，
又∠BAE=90°-∠BEA，
∴∠BAE=∠CED，
∴Rt△BE∽Rt△ECD，
∴，
∵BE∶EC=1∶3，BC=16，
∴BE=4，EC=12，
又AB=6，
∴，
在Rt△AED中，由勾股定理，得
=；
（2）（1）猜想：AB+CD=BC；
證明：在Rt△ABE中，
∵∠ABE=90°，
∴∠BAE=90°-∠AEB，
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°，
且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠AEB，
∴∠BAE=∠CED，
∵DC⊥BC于點C，
∴∠ECD=90°，
由已知，有AE=ED，
于是在Rt△ABE和Rt△ECD中，
∵∠ABE=∠ECD=90°，∠BAE=∠CED，AE=ED，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS），
∴AB=EC，BE=CD，
∴BC=BE+EC=CD+AB，即AB+CD=BC；
（ii）當A、D分別在直線l兩側時，線段AB、BC、CD有如下等量關系：
AB-CD=BC（AB>CD）或CD-AB=BC（AB<CD）。