Question

已知A、D是一段圓弧上的兩點，且在直線l的同側，分別過這兩點作l的垂線，垂足為B、C，E是BC上一動點，連接AD、AE、DE，且∠AED=90度．
（1）如圖①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的長；
（2）如圖②，若點E恰為這段圓弧的圓心，則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關系？請寫出你的結論并予以證明．再探究：當A、D分別在直線l兩側且AB≠CD，而其余條件不變時，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關系？請直接寫出結論，不必證明．

Answer 1

分析：（1）根據兩角對應相等證明Rt△ABE∽Rt△ECD，然后根據相似三角形的對應邊的比相等求得CD的長，再運用勾股定理就可計算出AD的長；
（2）可以證明Rt△ABE≌Rt△ECD，得到對應線段相等，根據圖形就可得到線段之間的和差關系．

解答：解：（1）∵AB⊥l于B，DC⊥l于C，
∴∠ABE=∠ECD=90°．
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠BEA．
又∵∠BAE=90°-∠BEA，
∴∠BAE=∠CED．
∴Rt△ABE∽Rt△ECD．
∴

AB

EC

=

BE

CD

．
∵BE：EC=1：3  BC=16，
∴BE=4，EC=12．
又∵AB=6，
∴CD=

BE．EC

BA

=

4×12

6

=8．
在Rt△AED中，由勾股定理得
AD=

AE2+DE2

=

(AB2+BE2)+(EC2+CD2)

=2

65

．

（2）（i）猜想：AB+CD=BC．
證明：在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°
∴∠BAE=90°-∠AEB，
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠AEB．
∴∠BAE=∠CED．
∵DC⊥BC于點C，
∴∠ECD=90°．
由已知，有AE=ED，
在Rt△ABE和Rt△ECD中，

∠ABE=∠ECD=90° ∠BAE=∠CED AE=ED

，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS）．
∴AB=EC，BE=CD．
∴BC=BE+EC=CD+AB，即AB+CD=BC．

（ii）當A，D分別在直線l兩側時，線段AB，BC，CD有如下等量關系：
AB-CD=BC（AB＞CD）或CD-AB=BC（AB＜CD）．

點評：此題考查了圓的有關知識、相似三角形的性質和判定以及全等三角形的性質和判定．