Question

已知關于x的一元二次方程x2-x+

1

4

m=0．
（1）m取什么值時，方程有兩個實數根？
（2）設此方程的兩個實數根為a、b，若y=ab-2b²+2b+1，求y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據△的意義得到當△≥0，方程有兩個實數根，則1²-4×1×

1

4

m≥0，解不等式即可得到m的取值范圍；
（2）根據一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的解和根與系數的關系得b²-b+

1

4

m=0，ab=

1

4

m，然后把b²-b=-

1

4

m，ab=

1

4

m整體代入y中，化簡后得到y=

3

4

m+1，再根據（1）中m的取值范圍即可得到y的取值范圍．

解答：解：（1）∵△≥0，方程有兩個實數根，
∴1²-4×1×

1

4

m≥0，解得m≤1，
∴當m≤1時，方程有兩個實數根；
（2）∵方程的兩個實數根為a、b，
∴b²-b+

1

4

m=0，ab=

1

4

m，
∴y=

1

4

m-2（b²-b）+1
=

1

4

m-2×（-

1

4

m）+1
=

3

4

m+1，
∵m≤1，
∴y≤

3

4

+1，
即y≤

7

4

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的解和根與系數的關系．