Question

（2006•河北區(qū)一模）已知，如圖，CD是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為C，BC=

3

，BF=

1

2

，AE：EF=8：3
求：ED的長．

Answer 1

分析：首先連接CF，DF，AC，易證得△BCF∽△BAC，即可求得AB的長，繼而求得AE與EF的長，由勾股定理，可求得CE的長，然后又由△DEF∽△AEC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得ED的長．

解答：解：連接CF，DF，AC，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠BCD=90°，
即∠BCF+∠DCF=90°，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CFD=90°，
∴∠DCF+∠D=90°，
∴∠BCF=∠D，
∵∠A=∠D，
∴∠BCF=∠A，
∵∠B是公共角，
∴△BCF∽△BAC，
∴BF：BC=BC：AB，
∴AB=

BC2

BF

=

( 3 )2

1 2

=6，
∴AF=AB=BF=6-

1

2

=

11

2

，
∵AE：EF=8：3，
∴EF=

3

11

×

11

2

=

3

2

，AE=

11

2

-

3

2

=4，
∴BE=EF+BF=2，
∴CE=

BE2-BC2

=1，
∵∠A=∠D，∠DEF=∠AEC，
∴△DEF∽△AEC，
∴ED：AE=EF：CE，
∴ED=

AE•EF

CE

=

4× 3 2

1

=6．

點評：此題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質以及勾股定理．此題難度適中，注意解題的關鍵是掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．