Question

已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D點，在線段AD上任取一點P（A點除外），過P點作EF∥AB，分別交AC，BC于E，F點，作PM∥AC，交AB于M點，連接ME．
（1）求證：四邊形AEPM為菱形；
（2）當P點在何處時，菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半？

Answer 1

【答案】分析：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形，在本題中，可證出四邊形AEPM為平行四邊形，關鍵是找一組鄰邊相等，∵AD平分∠BAC再者PE∥AM所以可證∠EAP=∠EPA即AE=EP，所以為菱形；
（2）S_菱形AEPM=EP•h，S_{平行四邊形EFBM}=EF•h，若菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半，則EP=EF，所以，P為EF中點時，S_菱形AEPM=S_{四邊形EFBM}．
解答：（1）證明：∵EF∥AB，PM∥AC，
∴四邊形AEPM為平行四邊形．
∵AB=AC，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AD⊥BC（三線合一的性質），
∵∠BAD=∠EPA，
∴∠CAD=∠EPA，
∵EA=EP，
∴四邊形AEPM為菱形．

（2）解：P為EF中點時，S_菱形AEPM=S_{四邊形EFBM}
∵四邊形AEPM為菱形，
∴AD⊥EM，
∵AD⊥BC，
∴EM∥BC，
又EF∥AB，
∴四邊形EFBM為平行四邊形．
作EN⊥AB于N，則S_菱形AEPM=EP•EN=EF•EN=S_{四邊形EFBM}．
點評：此題主要考查了菱形的判定，以及平行四邊形的性質，題型比較新穎．