Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點M、N，在AC的延長線上取點P，使∠CBP＝∠A．

1.（1）判斷直線BP與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

2.（2）若⊙O的半徑為1，tan∠CBP＝0.5，求BC和BP的長．

 

Answer 1

 

1.⑴相切.

     證明：連結AN，

∵AB是直徑，

∴∠ANB=90°.

        ∵AB=AC，

∴∠BAN=∠A=∠CBP.

       又∵∠BAN+∠ABN=180°-∠ANB= 90°，

        ∴∠CBP+∠ABN=90°，即AB⊥BP.

        ∵AB是⊙O的直徑，

       ∴直線BP與⊙O相切.

2.  ⑵∵在Rt△ABN中，AB=2，tan∠BAN= tan∠CBP=0.5，

     可求得，BN=，∴BC=.        …………………………………………4分

     作CD⊥BP于D，則CD∥AB，.

     在Rt△BCD中，易求得CD=，BD=.     …………………………………5分

代入上式，得=.

∴CP=.                          …………………………………………6分

∴DP=.

∴BP=BD+DP=+=. 

解析:略