Question

如圖，△DEC內接于⊙O，AC經過圓心O交⊙O于點B，且AC⊥DE，垂足為F，連接AD、BE，若sinA=

1

2

，∠BED=30°．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）△DCE是否是等邊三角形？請說明理由；
（3）若⊙O的半徑R=2，試求CE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD．根據題意可求出∠AOD，∠A，從而得出∠ADO=90°，則AD是⊙O的切線；
（2）先得結論△DCE是等邊三角形，由題意得CE=CD，再由BC是⊙O的直徑，則∠BEC=90°，從而求得∠DEC=60°，則△DCE是等邊三角形．
（3）由題意可求得BC，即可得出∠BEC，在Rt△BEC中，由三角函數求出CE的長．

解答：解：（1）連接OD．
∵∠BED=30°，∴∠AOD=60°，
∵sinA=

1

2

∴∠A=30°
∴∠A+∠AOD=90°
∴∠ADO=90°
∴AD是⊙O的切線．

（2）△DCE是等邊三角形．理由如下：
∵BC為⊙O的直徑且AC⊥DE．
∴

CE

=

CD

．∴CE=CD．
∵BC是⊙O的直徑，∴∠BEC=90°，
∵∠BED=30°，
∴∠DEC=60°，
∴△DCE是等邊三角形．

（3）∵⊙O的半徑R=2．
∴直徑BC=4
∵△DCE是等邊三角形，
∴∠EDC=60°
∴∠EBC=60°
在Rt△BEC中，sin∠EBC=

CE

BC

，
∴CE=BCsin60°=4×

3

2

=2

3

．

點評：本題考查了切線的判定、等邊三角形的判定和性質、圓周角定理以及解直角三角形．