Question

如圖（1）正方形ABCD和正方形AEFG，邊AE在邊AB上，AB=12，AE=6

2

．將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉α（0°≤α≤45°）
（1）如圖（2）正方形AEFG旋轉到此位置，求證：BE=DG；
（2）在旋轉的過程中，當∠BEA=120°時，試求BE的長；
（3）BE的延長線交直線DG于點Q，當正方形AEFG由圖（1）繞點A逆時針旋轉45°，請直接寫出旋轉過程中點Q運動的路線長；
（4）在旋轉的過程中，是否存在某時刻BF=BC？若存在，試求出DQ的長；若不存在，請說明理由．（點Q即（3）中的點）

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再求出∠BAE=∠DAG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）過點A作AH⊥BE交BE的延長線于H，根據鄰補角的定義求出∠AEH=60°，解直角三角形求出AH、EH，再利用勾股定理列式求出BH，然后根據BE=BH-EH代入數據計算即可得解；
（3）根據全等三角形對應角相等可得∠ABE=∠ADG，然后求出∠BQD=∠BAD=90°，再根據直徑所對的圓周角是直角判斷出點Q的軌跡為以BD為直徑的弧AD，然后根據弧長公式列式計算即可得解；
（4）利用勾股定理列式求出AF，從而得到AB=AF=BF，判斷出△ABF是等邊三角形，再根據到線段兩端點距離相等的點在線段垂直平分線上判斷出直線BE是AF的垂直平分線，根據等邊三角形的性質可得∠ABQ=

1

2

∠BAF=30°，設BQ與AD相交于H，解直角三角形求出AH，再求出DH，然后在Rt△DHQ中，利用∠ADG的余弦列式求解即可．

解答：（1）證明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，
AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∠DAG+∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△ADG中，

AB=AD ∠BAE=∠DAG AE=AG

，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG；

（2）如圖，過點A作AH⊥BE交BE的延長線于H，
∵∠BEA=120°，
∴∠AEH=180°-120°=60°，
∵AE=6

2

，
∴AH=AE•sin60°=6

2

×

3

2

=3

6

，
EH=AE•cos60°=6

2

×

1

2

=3

2

，
在Rt△ABH中，BH=

AB2-AH2

=

122-(3 6 )2

=

90

=3

10

，
∴BE=BH-EH=3

10

-3

2

；

（3）∵△ABE≌△ADG，
∴∠ABE=∠ADG，
∴∠BQD=∠BAD=90°，
∴點Q的運動軌跡為以BD為直徑的

AD

，所對的圓心角是90°，
∵AB=12，
∴BD=

2

AB=12

2

，
∴旋轉過程中點Q運動的路線長=

90•π•12 2

360

=3

2

π；

（4）由勾股定理得，AF=

2

AE=

2

×6

2

=12，
∵BF=BC=12，
∴AB=AF=BF=12，
∴△ABF是等邊三角形，
又∵AE=EF，
∴直線BE是AF的垂直平分線，
∴∠ABQ=

1

2

∠BAF=30°，
設BQ與AD相交于H，
則AH=AB•tan30°=12×

3

3

=4

3

，
∴DH=AD-AH=12-4

3

，
在Rt△DQH中，DQ=DH•cos30°=（12-4

3

）×

3

2

=6

3

-6．

點評：本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，綜合題，難點較大，（2）作輔助線構造出有一個角是60°的直角三角形是解題的關鍵，（3）難點在于判斷出路線是以BD為直徑的弧長的一部分，（4）利用到線段兩端點距離相等的點在線段垂直平分線上判斷出直線BE是AF的垂直平分線是解題的關鍵．