Question

如圖，已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB＜1，以AB為一邊在圓O內作正△ABC，點D為圓O上不同于點A的一點，且DB=AB，DC的延長線交圓O于點E，試探究AE的長是否為定值（不隨AB長度的變化而變化）？若為定值，求出這個定值；若不為定值，試確定AE與AB長之間的關系．________．

Answer 1

AE=OA
分析：根據四點共圓的性質得到四邊形的對角互補，然后根據等邊三角形的內角的度數進一步得到△EAC與△OAB全等進而確定兩對應線段的關系．
解答：由A、B、D、E四點共圓，
∴∠EAB+∠EDB=180°，
∵BC=BD，∠BDC=∠BCD，∠BCD+∠ECB=180°，
∴∠ECB=∠EAB
又∵∠CAB=∠ACB=60°
∴∠ECB-∠ACB=∠EAB-∠CAB，
∴∠ECA=∠EAC，
∴△EAC是等腰三角形，
∵AB=BD，
∴∠OEA=∠DOB，
∵AC=AB，
∴△EAC≌△OAB，
∴AE=OA．
點評：本題考查了四點共圓、三角形全等的判定及圓心角圓周角之間的關系，解題的關鍵是利用四點共圓的性質及等腰三角形的性質得到全等三角形，進而確定兩線段的關系．