Question

如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點E在線段BC上，且PE=PB．
（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；
（2）設AP=x，△PBE的面積為y．
①求出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
②當x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

分析：（1）可通過構建全等三角形來求解．過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，那么可通過證三角形GPD和EFP全等來求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根據等腰三角形三線合一的特點可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出兩三角形的另一組對應邊DG，PF相等，因此可得出兩直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．
（2）求三角形PBE的面積，就要知道底邊BE和高PF的長，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的長，那么就知道了底邊BE的長，而高PF=CD-GP，也就可求出PF的長，可根據三角形的面積公式得出x，y的函數關系式．然后可根據函數的性質及自變量的取值范圍求出y的最大值以及對應的x的取值．

解答：（1）證明：①過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F．如圖所示．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．
又∵PB=PE，
∴BF=FE，
∴GP=FE，
∴△EFP≌△PGD（SAS）．
∴PE=PD．
②∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．
∴∠DPE=90度．
∴PE⊥PD．

（2）解：①過P作PM⊥AB，可得△AMP為等腰直角三角形，
四邊形PMBF為矩形，可得PM=BF，
∵AP=x，∴PM=

2

2

x，

∴BF=PM=

2

2

x，PF=1-

2

2

x．
∴S_△PBE=

1

2

BE×PF=BF•PF=

2

2

x•（1-

2

2

x）=-

1

2

x²+

2

2

x．
即y=-

1

2

x²+

2

2

x．（0＜x＜

2

）．
②y=-

1

2

x²+

2

2

x=-

1

2

（x-

2

2

）²+

1

4

∵a=-

1

2

＜0，
∴當x=

2

2

時，y_最大值=

1

4

．

點評：本題主要考查了正方形，矩形的性質，全等三角形的判定以及二次函數的綜合應用等知識點，通過構建全等三角形來得出相關的邊和角相等是解題的關鍵．