Question

如圖所示，把一個直角三角尺ACB繞著30°角的頂點B順時針旋轉，使得點A與CB的延長線上的點E重合．
（1）三角尺旋轉了多少度？
（2）連接CD，試判斷△CBD的形狀．
（3）求∠BDC的度數．
（4）若BC=

3

，求直角三角尺ABC旋轉掃過的面積．

Answer 1

分析：（1）三角尺旋轉的角度即為∠ABE的度數，而∠ABE和三角尺的30°角互為補角，由此可求出旋轉的度數；
（2）由旋轉的性質知：BC=BD，由此可得出△BCD的形狀；
（3）已知了等腰△BCD頂角的度數，可根據三角形內角和定理求出底角∠BDC的度數；
（4）直角三角尺ABC旋轉掃過的面積即為扇形BAE的面積，圓心角∠ABE的度數已經求得，而半徑AB的長可在Rt△ABC中由勾股定理求得，進而可根據扇形的面積公式得出結果．

解答：解：（1）依題意，得∵∠ABC=30°
∴∠DBE=30°
∴∠ABE=180°-30°=150°，即旋轉了150°（3分）

（2）根據旋轉的性質知，CB=BD，故△CBD為等腰三角形．（6分）

（3）∵BD=CB，∴∠DCB=∠BDC
又∵∠DBE=∠ABC=30°，∠DBE=∠DCB+∠BDC
故∠BDC=

1

2

∠DBE=15°（9分）

（4）由題意，設AC=x，則AB=2x，
由勾股定理可得x=1，AB=2；
且∠ABE=150°，
所以直角三角尺ABC旋轉得到的面積為

150π×22

360

=

5π

3

（平方單位）．（12分）

點評：此題主要考查了直角三角形的性質、旋轉的性質、扇形面積的計算方法等知識點．