Question

（2012•谷城縣模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=

1

18

x²-

4

9

x-10與x軸的交點為點A，與y軸的交點為點B．過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連接AC．現有兩動點P，Q分別從O，C兩點同時出發，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動，線段OC，PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于點E，射線QE交x軸于點F．設動點P，Q移動的時間為t（單位：秒）
（1）求A，B，C三點的坐標和拋物線的頂點的坐標；
（2）當t為何值時，四邊形PQCA為平行四邊形？請寫出計算過程；
（3）當t為何值時，△PQF為等腰三角形？請寫出解答過程．

Answer 1

分析：（1）在y=

1

18

x²-

4

9

x-10中，令y=0可求A，令x=0，可求B；由BC∥x軸，可得點C的縱坐標為-10．由-10=

1

18

x²-

4

9

x-10可求C，由y=

1

18

x²-

4

9

x-10=

1

18

（x-4）²-

98

9

可求拋物線的頂點坐標；
（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可求解．
（3）設點P運動了t秒，則P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．從而有PQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+100，FQ²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100．利用FP=FQ，QP=QF，PQ=PF分別進行求解．

解答：解：（1）在拋物線y=

1

18

x2-

4

9

x-10中，
令x=0，得y=-10．
則B（0，-10）．
令y=0，得x=-10或18．
則A（18，0）． 
令y=-10，得x=0或8．
則C（8，-10）． 
∵y=

1

18

x2-

4

9

x-10=

1

18

(x-4)2-

98

9

，
∴拋物線的頂點坐標為（4，-

98

9

）．

（2）由（1）知：OA=18，BC=8．
由于QC∥PA，所以當PA=QC時，四邊形PQCA為平行四邊形，
則18-4t=t．
解得t=3.6．
故當t=3.6秒時，四邊形PQCA為平行四邊形．

（3）∵QC∥DE∥OA，
∴

AF

CQ

=

AE

EC

=

OD

DC

=

OP

QC

．
∴AF=OP，
∴PF=OA=18．
∴P（4t，0），Q（8-t，-10），F（18+4t，0）．
∴構造直角三角形后，由勾股定理知，
PF²=18²=324，PQ²=（8-5t）²+10²=25t²-80t+164，QF²=（10+5t）²+10²=25t²+100t+200．
①若PQ=PF，由25t²-80t+164=324，
解得：t=

8±4 14

5

，
取正數t=

8+4 14

5

＞4.5，舍去；
②若QP=QF，
由25t²-80t+164=25t²+100t+200，
解得：t=-

1

5

（舍去）；
③若FP=FQ，
由324=25t²+100t+200，
解得：t=

±4 14 -10

5

．
取正數t=

4 14 -10

5

＜4.5．
綜上，當t=

4 14 -10

5

時，△PQF為等腰三角形．

點評：本題主要考查了直線與拋物線的綜合應用，要求考試能夠利用基本知識進行一定的推理，要求考試具備一定的邏輯推理的能力，有很強的解決問題的能力．