Question

（2008•東城區一模）如圖，拋物線y=-x²+bx+c經過點A（1，0）和B（0，5），
（1）求此拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）拋物線與x軸的另一交點為C，在直線CB上是否存在一點P，使四邊形PDCO為梯形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線中進行求解即可．
（2）本題要分兩種情況進行討論：
①當CO∥DP時，先求出直線BC的解析式，然后將D點縱坐標代入直線BC中即可求出P點坐標，然后判斷DP是否與OC相等即可，如果OC≠DP，則四邊形PDCO不是梯形而是平行四邊形，如果OC≠DP，則四邊形PDCO是梯形．
②當OP∥CD時，P點為直線OP與直線BC的交點，可根據直線CD的解析式求出直線OP的解析式，然后聯立直線OP和直線BC的解析式即可求出P點的坐標，后面同①．
解答：解：（1）根據題意，得．
解得．
∴拋物線的解析式為y=-x²-4x+5，
由頂點D的坐標為（-2，9）．

（2）由拋物線的解析式為y=-x²-4x+5，
可得C點的坐標為（-5，0）
∵B點的坐標為（0，5），
∴直線CB的解析式為y=x+5．
i：當OP∥CD，且OP≠CD時，四邊形PDCO為梯形．
∵直線CD的解析式為y=3x+5，OP∥CD，
∴直線OP的解析式為y=3x．
根據題意，得，
解得．
∴點P（，）．
∵OP=，CD=3，
∴OP≠CD，點P（，）即為所求．
∴點p（4，9）即為所求；
ii：當DP∥CO，且DP≠CO時，四邊形PDCO為梯形，
根據題意，
解得
∴點P（4，9），
∵OC=5，DP=6
∴OC≠DP
∴點P（4，9）為所求．
綜上所述，P點的坐標為（，）或（4，9）．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點以及梯形的判定等知識點的運用．