Question

如圖，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，過點C作CD⊥AC交AB于點D．
（1）尺規作圖：過A，D，C三點作⊙O（只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法）；
（2）求證：BC是過A，D，C三點的圓的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得到△ACD是直角三角形，那么過A，D，C三點作⊙O，根據圓周角是直角所對的弦是直徑得，AD為⊙O的直徑，所以作AD的中點O即為圓心，再以點O為圓心，OA長為半徑即可作出⊙O．
（2）先連接OC，已知已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，能求出∠ACB=120°，在⊙O中OA=OC，得到，∠ACO=∠A=30°，
那么∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°，從而推出BC是過A，D，C三點的圓的切線．
解答：解：（1）作出圓心O，
以點O為圓心，OA長為半徑作圓；

（2）證明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°．
∴AD是⊙O的直徑
連接OC，∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°．
∴BC⊥OC，
∴BC是⊙O的切線．
點評：此題考查的是等腰三角形的性質和切線的判定及尺規作圖，關鍵是首先確定AD為直徑，再作圓．根據已知推出BC⊥OC．