Question

如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于O，EO⊥AC．
（1）若△ABE的周長(zhǎng)為10cm，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)；
（2）若∠ABC=78°，AE平分∠BAC，試求∠DAC的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分得：OA=OC．又OE⊥AC，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等得：AE=CE．故△ABE的周長(zhǎng)為AB+AC的長(zhǎng)．最后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等得：?ABCD的周長(zhǎng)為2×10=20cm．
（2）由（1）可知AE=CE，所以△AEC是等腰三角形，利用平行線的性質(zhì)和已知條件計(jì)算即可．

解答：解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC．
∵OE⊥AC，
∴AE=CE．
故△ABE的周長(zhǎng)為AB+AC=10，
根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等得，
?ABCD的周長(zhǎng)為2×10=20cm．

（2）∵AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠ABC=78°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAC=39°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠EAC=∠ECA=39°．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了以下性質(zhì)解題，平行四邊形的對(duì)邊相等且對(duì)角線互相平分，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．