Question

如圖，在直角坐標系中，矩形紙片ABCD的點B坐標為（9，3），若把圖形按要求折疊，使B、D兩點重合，折痕為EF．
（1）△DEF是否為等腰三角形？（不要說明理由）
（2）圖形中是否存在成中心對稱的兩個圖形？如果存在請說明理由；如果不存在，也請說明理由．（圖中實線、虛線一樣看待）
（3）求折痕EF的長及所在直線的解析式．

Answer 1

解：（1）△DEF為等腰三角形．

（2）連接BD交EF于M，
∵B、D關于EF對稱，
∴BM=DM，EM⊥BD，
易證EM=FM，
∴E、F關于M成中心對稱，B、D關于M成中心對稱，又M為BD的中點，
∴A、C關于M成中心對稱，
∴四邊形AEFD與四邊形CFEB關于M成中心對稱．

（3）設BE=OE=x，則AE=9-x，
在直角三角形AED中，（9-x）²+3²=x²，解得x=5，
∴E（4，3），F（5，0），
EF=，
直線EF的解析式為y=-3x+15．
分析：（1）根據矩形對邊平行得到∠BEF=∠OEF，由翻折可得到∠BEF=∠OEF，那么∠OEF=∠BEF．那么△DEF為等腰三角形．
（2）連接BD交EF于M，由BM=DM，EM⊥BD，可求出EM=FM，OM=MB，故四邊形AEFD與四邊形CFEB關于M成中心對稱．
（3）設BE=OE=x，則AE=9-x，利用勾股定理可求出x=5．可求出E，F的坐標．進而求出函數的解析式．
點評：本題考查的是圖形的折疊及用待定系數法求一次函數的解析式．