Question

在平面直角坐標xOy中，（如圖）正方形OABC的邊長為4，邊OA在x軸的正半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，點D是OC的中點，BE⊥DB交x軸于點E.

⑴求經過點D、B、E的拋物線的解析式；

⑵將∠DBE繞點B旋轉一定的角度后，邊BE交線段OA于點F，邊BD交y軸于點G，交⑴中的拋

物線于M（不與點B重合），如果點M的橫坐標為，那么結論OF=DG能成立嗎？請說明理由.

⑶過⑵中的點F的直線交射線CB于點P，交⑴中的拋物線在第一象限的部分于點Q，且使△PFE為等腰三角形，求Q點的坐標.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵BE⊥DB交x軸于點E，OABC是正方形，∴∠DBC=EBA。

在△BCD與△BAE中，∵∠BCD=∠BAE=90°， BC=BA ，∠DBC=∠EBA ，

∴△BCD≌△BAE（ASA）。∴AE=CD。

∵OABC是正方形，OA=4，D是OC的中點，

∴A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），∴E（6，0）．

設過點D（0，2），B（4，4），E（6，0）的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，則有：

，解得 。

∴經過點D、B、E的拋物線的解析式為：。

（2）結論OF=DG能成立．理由如下：

由題意，當∠DBE繞點B旋轉一定的角度后，同理可證得△BCG≌△BAF，∴AF=CG。

∵x_M=，∴。∴M（）。

設直線MB的解析式為y_MB=kx+b，

∵M（），B（4，4），

∴，解得。

∴y_MB=x+6。∴G（0，6）。

∴CG=2，DG=4。∴AF=CG=2，OF=OA﹣AF=2，F（2，0）。

∵OF=2，DG=4，∴結論OF=DG成立。

（3）如圖，△PFE為等腰三角形，可能有三種情況，分類討論如下：

①若PF=FE。

∵FE=4，BC與OA平行線之間距離為4，

∴此時P點位于射線CB上。

∵F（2，0），∴P（2，4）。

此時直線FP⊥x軸。來]∴x_Q=2。

∴，

∴Q₁（2，）。

②若PF=PE。

如圖所示，∵AF=AE=2，BA⊥FE，∴△BEF為等腰三角形。

∴此時點P、Q與點B重合。∴Q₂（4，4）。

③若PE=EF。

∵FE=4，BC與OA平行線之間距離為4，∴此時P點位于射線CB上。

∵E（6，0），∴P（6，4）。

設直線y_PF的解析式為y_PF=kx+b，∵F（2，0），P（6，4），

∴，解得。∴y_PF=x﹣2。

∵Q點既在直線PF上，也在拋物線上，

∴，化簡得5x²﹣14x﹣48=0，

解得x₁= ，x₂=﹣2（不合題意，舍去）。∴x_Q=2。

∴y_Q=x_Q﹣2=。∴Q₃（）。

綜上所述，Q點的坐標為Q₁（2，）或Q₂（4，4）或Q₃（）。

【解析】（1）由正方形的性質和△BCD≌△BAE求得E點坐標，然后利用待定系數法求拋物線解析式。

（2）求出M點坐標，然后利用待定系數法求直線MB的解析式，令x=0，求得G點坐標，從而得到線段CG、DG的長度；由△BCG≌△BAF，可得AF=CG，從而求得OF的長度．比較OF與DG的長度，它們滿足OF=DG的關系，所以結論成立；

（3）分PF=FE、PF=PE和PE=EF三種情況，逐一討論并求解。