Question

（2012•德陽）在平面直角坐標xOy中，（如圖）正方形OABC的邊長為4，邊OA在x軸的正半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，點D是OC的中點，BE⊥DB交x軸于點E．
（1）求經過點D、B、E的拋物線的解析式；
（2）將∠DBE繞點B旋轉一定的角度后，邊BE交線段OA于點F，邊BD交y軸于點G，交（1）中的拋物線于M（不與點B重合），如果點M的橫坐標為

12

5

，那么結論OF=

1

2

DG能成立嗎？請說明理由；
（3）過（2）中的點F的直線交射線CB于點P，交（1）中的拋物線在第一象限的部分于點Q，且使△PFE為等腰三角形，求Q點的坐標．

Answer 1

分析：（1）本題關鍵是求得E點坐標，然后利用待定系數法求拋物線解析式．如題圖，可以證明△BCD≌△BAE，則AE=CD，從而得到E點坐標；
（2）首先求出M點坐標，然后利用待定系數法求直線MB的解析式，令x=0，求得G點坐標，進而得到線段CG、DG的長度；由△BCG≌△BAF，可得AF=CG，從而求得OF的長度．比較OF與DG的長度，它們滿足OF=

1

2

DG的關系，所以結論成立；
（3）本問關鍵在于分類討論．△PFE為等腰三角形，如解答圖所示，可能有三種情況，需逐一討論并求解．

解答：解：（1）∵BE⊥DB交x軸于點E，OABC是正方形，
∴∠DBC=∠EBA．
在△BCD與△BAE中，

∠BCD=∠BAE=90° BC=BA ∠DBC=∠EBA

，
∴△BCD≌△BAE（ASA），
∴AE=CD．
∵OABC是正方形，OA=4，D是OC的中點，
∴A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），∴E（6，0）．
設過點D（0，2），B（4，4），E（6，0）的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，則有：

c=2 16a+4b+c=4 36a+6b+c=0

，
解得

a=- 5 12 b= 13 6 c=2

，
∴經過點D、B、E的拋物線的解析式為：y=-

5

12

x²+

13

6

x+2．

（2）結論OF=

1

2

DG能成立．理由如下：
由題意，當∠DBE繞點B旋轉一定的角度后，同理可證得△BCG≌△BAF，
∴AF=CG．
∵x_M=

12

5

，
∴y_M=-

5

12

x_M²+

13

6

x_M+2=

24

5

，∴M（

12

5

，

24

5

）．
設直線MB的解析式為y_MB=kx+b，
∵M（

12

5

，

24

5

），B（4，4），
∴

12 5 k+b= 24 5 4k+b=4

，
解得

k=- 1 2 b=6

，
∴y_MB=-

1

2

x+6，
∴G（0，6），
∴CG=2，DG=4．
∴AF=CG=2，OF=OA-AF=2，F（2，0）．
∵OF=2，DG=4，
∴結論OF=

1

2

DG成立．

（3）如圖，△PFE為等腰三角形，可能有三種情況，分類討論如下：
①若PF=FE．
∵FE=4，BC與OA平行線之間距離為4，
∴此時P點位于射線CB上，
∵F（2，0），
∴P（2，4），此時直線FP⊥x軸，
∴x_Q=2，
∴y_Q=-

5

12

x_Q²+

13

6

x_Q+2=

14

3

，∴Q₁（2，

14

3

）；
②若PF=PE．
如圖所示，∵AF=AE=2，BA⊥FE，
∴△BEF為等腰三角形，
∴此時點P、Q與點B重合，
∴Q₂（4，4）；
③若PE=EF．
∵FE=4，BC與OA平行線之間距離為4，
∴此時P點位于射線CB上，
∵E（6，0），
∴P（6，4）．
設直線y_PF的解析式為y_PF=kx+b，
∵F（2，0），P（6，4），
∴

2k+b=0 6k+b=4

，
解得

k=1 b=-2

，
∴y_PF=x-2．
∵Q點既在直線PF上，也在拋物線上，
∴-

5

12

x²+

13

6

x+2=x-2，化簡得5x²-14x-48=0，
解得x₁=

24

5

，x₂=-2（不合題意，舍去）
∴x_Q=

24

5

，
∴y_Q=x_Q-2=

24

5

-2=

14

5

．
∴Q₃（

24

5

，

14

5

）．
綜上所述，Q點的坐標為Q₁（2，

14

3

）或Q₂（4，4）或Q₃（

24

5

，

14

5

）．

點評：本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求二次函數的解析式、待定系數法求一次函數解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定與性質以及等腰三角形性質等知識點，考查內容涉及初中數學代數與幾何的多個重要知識點，難度較大．本題第（3）問需要針對等腰三角形△PFE的三種可能情況進行分類討論，避免漏解．