Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，BF切⊙O于點B，AF交⊙O于點D，點C在DF上，BC交⊙O于點E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于點G，連接AE．
（1）直接寫出AE與BC的位置關系；
（2）求證：△BCG∽△ACE；
（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°．

∴AE⊥BC

（2）解：如圖1，

∵BF與⊙O相切，

∴∠ABF=90°．

∴∠CBF=90°﹣∠ABE=∠BAE．

∵∠BAF=2∠CBF．

∴∠BAF=2∠BAE．

∴∠BAE=∠CAE．

∴∠CBF=∠CAE．

∵CG⊥BF，AE⊥BC，

∴∠CGB=∠AEC=90°．

∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，

∴△BCG∽△ACE

（3）解：連接BD，如圖2所示．

∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，

∴∠DBE=∠CBF．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°．

∴BD⊥AF．

∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，

∴CD=CG．

∵∠F=60°，GF=1，∠CGF=90°，

∴tan∠F= =CG=tan60°=

∵CG= ，

∴CD= ．

∵∠AFB=60°，∠ABF=90°，

∴∠BAF=30°．

∵∠ADB=90°，∠BAF=30°，

∴AB=2BD．

∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC，

∴∠ABE=∠ACE．

∴AB=AC．

設⊙O的半徑為r，則AC=AB=2r，BD=r．

∵∠ADB=90°，

∴AD= r．

∴DC=AC﹣AD=2r﹣ r=（2﹣ ）r= ．

∴r=2 +3．

∴⊙O的半徑長為2 +3．

【解析】（1）由AB為⊙O的直徑即可得到AE與BC垂直．（2）易證∠CBF=∠BAE，再結合條件∠BAF=2∠CBF就可證到∠CBF=∠CAE，易證∠CGB=∠AEC，從而證到△BCG∽△ACE．（3）由∠F=60°，GF=1可求出CG= ；連接BD，容易證到∠DBC=∠CBF，根據角平分線的性質可得DC=CG= ；設圓O的半徑為r，易證AC=AB，∠BAD=30°，從而得到AC=2r，AD= r，由DC=AC﹣AD= 可求出⊙O的半徑長．
【考點精析】利用角平分線的性質定理和等腰三角形的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等．