Question

如圖，⊙O的直徑AB=10，CD是⊙O的弦，AC與BD相交于點P．
（1）設∠BPC=α，如果sinα是方程5x²-13x+6=0的根，求cosα的值；
（2）在（1）的條件下，求弦CD的長．

Answer 1

分析：（1）利用十字相乘法，求得一元二次方程的根，即sinα的值．進而求得cosα的值．
（2）首先連接BC，利用圓周角定理得到∠B=∠C，∠A=∠D，進而證得△APB∽△DPC．再利用相似三角形的性質定理及（1）中的解，求得弦CD的長．

解答：解：（1）∵sinα是方程5x-13x+6=0的根，
解得：sinα=2（舍去），sinα=

3

5

，（2分）
∴cosα=

4

5

；（1分）

（2）連接BC，
∵∠B=∠C，∠A=∠D，
∴△APB∽△DPC，
∴

CD

AB

=

CP

PB

，（2分）
∵AB為直徑，
∴∠BCA為直角，
∵cosα=

4

5

，
∴

CD

AB

=

CP

PB

=

4

5

，
∴CD=8．（3分）

點評：本題考查了解一元一次方程因式分解法、圓周角定理、直角三角形邊間的正弦、余弦關系，相似三角形的判定和性質等知識，綜合性較強．