Question

如圖，地上有一圓柱，在圓柱下底面的A點處有一螞蟻，它想沿圓柱表面爬行．吃到上底面上與A點相對的B點處的食物（π的近似值取3，以下同）．
（1）當圓柱的高h=12厘米，底面半徑r=3厘米時，螞蟻沿側面爬行時最短路程是多少；
（2）當圓柱的高h=3厘米，底面半徑r=3厘米時，螞蟻沿側面爬行也可沿AC到上底面爬行時最短路程是多少；
（3）探究：當圓柱的高為h，圓柱底面半徑為r時，螞蟻怎樣爬行的路程最短，路程最短為多少？

Answer 1

解：將圓柱體展開，連接AB，
∵底面半徑r=3厘米，
∴CB=×2π×3=3π≈9厘米，
∵圓柱的高h=12厘米，即AC=12厘米，
∴AB===15厘米．
答：螞蟻沿側面爬行時最短路程是15厘米．
（2）當螞蟻沿側面爬行同（1）的方法：
∵AC=3，=3π≈9，
∴AB==3．
當螞蟻沿AC到上底面，再沿直徑CB爬行，有AC+BC=3+6=9．
因為＞9，
所以最短路程是經AC到上底面，再沿直徑CB爬行的總路程為9．
（3）在側面，沿AB爬行時，S₁=，沿AC再經過直徑CB時，
則S₂=h+2r．
當S₁=S₂時，．
整理，得4h=（π²-4）r，由于π取3，
所以4h≈5r．
當時，兩種爬行路程一樣．
當S₁＞S₂時，，整理，得4h＜（π²-4）r
當π取3時，有h＜，所以當h＜時，沿AC再經過直徑CB到點B時所走路程最短．
同理，當h＞時，沿側面AB走路程最短．
當h＜r時，沿AC到CB走路程最短為h+2r．
當h＜r時，沿側面AB走或沿AC到CB走路程一樣長為或h+2r．
當h＜r時，沿側面AB走路程最短為．
當h＜r時，沿AC到CB走路程最短為h+2r．
分析：（1）首先畫出圓柱的平面展開圖，求出CB長，再利用勾股定理可求出AB的長，即可求出螞蟻沿側面爬行時最短的路程．
（2）先根據（1）的方法求出AB的長，再根據螞蟻沿AC到上底面，再沿直徑CB爬行時，求出AC+BC的長，即可求出螞蟻沿側面爬行也可沿AC到上底面爬行時最短路程．
（3）先根據在側面沿AB爬行時，得出路程S₁，再沿AC再經過直徑CB時，得出路程S₂，再分兩種情況討論，當S₁=S₂時兩種爬行路程一樣和當S₁＞S₂時，得出4h＜（π²-4）r，再分別六種情況進行討論h和r之間的關系，得出螞蟻怎樣爬行的路程最短．
點評：此題主要考查了平面展開-最短路徑問題，先根據題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構造直角三角形解決問題．