Question

某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下：
設∠BAC=（0°＜＜90°），現把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB，AC上。
活動一： 如圖甲所示，從點A₁開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直，（A₁A₂為第1根小棒）
數學思考：
（1）小棒能無限擺下去嗎？答：________（填“能”或“不能”）；
（2）設AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，
①=_________度；
②若記小棒A_2n-1A_2n的長度為a_n（n為正整數，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…）， 求出此時a₂，a₃的值，并直接寫出a_n（用含n的式子表示）。

活動二：
如圖乙所示，從點A₁開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A₁A₂為第一根小棒，且A₁A₂=AA₁。
數學思考：
（3）若已經擺放了3根小棒，則₁=_________，₂=________，₃=________；（用含的式子表示）（4）若只能擺放4根小棒，求的范圍。

Answer 1

解：（1）能；
（2）① 22.5°，
②∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A2A₃，
∴A₁A₃=，AA₃=，
又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，
∴A₁A₂∥A₃A₄，
同理：A₃A₄∥A₅A₆，
∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，
∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆
∴a₂=A₃A₄=AA₃=，
a₃=AA₃+ A₃A₅=a₂+ A₃A₅，
∵A₃A₅=a₂，
∴a₃=A₅A₆=AA₅=；
（3），，；
（4）由題意得：，
∴。