Question

閱讀材料：
學習了無理數后，某數學興趣小組開展了一次探究活動：估算

13

的近似值．
小明的方法：
∵

9

＜

13

＜

16

，
設

13

=3+k（0＜k＜1）．
∴(

13

)2=(3+k)2．
∴13=9+6k+k²．
∴13≈9+6k．
解得 k≈

4

6

．
∴

13

≈3+

4

6

≈3.67．
問題：
（1）請你依照小明的方法，估算

41

的近似值；
（2）請結合上述具體實例，概括出估算

m

的公式：已知非負整數a、b、m，若a＜

m

＜a+1，且m=a²+b，則

m

≈

a+

b

2a

（用含a、b的代數式表示）；
（3）請用（2）中的結論估算

37

的近似值．

Answer 1

分析：（1）根據題目信息，找出41前后的兩個平方數，從而確定出

41

=6+k（0＜k＜1），再根據題目信息近似求解即可；
（2）根據題目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；
（3）把a換成6，b換成1代入公式進行計算即可得解．

解答：解：（1）∵

36

＜

41

＜

49

，
設

41

=6+k（0＜k＜1），
∴(

41

)2=(6+k)2，
∴41=36+12k+k²，
∴41≈36+12k．
解得k≈

5

12

，
∴

41

≈6+

5

12

≈6+0.42=6.42；

（2）設

m

=a+k（0＜k＜1），
∴m=a²+2ak+k²≈a²+2ak，
∵m=a²+b，
∴a²+2ak=a²+b，
解得k=

b

2a

，
∴

m

≈a+

b

2a

；

（3）

37

≈6+

1

12

≈6.08．

點評：本題考查了無理數的估算，讀懂題目提供信息，然后根據信息中的方法改變數據即可，難度不大，很有趣味性．