Question

如圖，已知梯形ABCD中，CD∥AB，M為腰AD上的一點，若AB+CD=BC，MC平分∠DCB．求證：BM⊥MC．

Answer 1

分析：首先延長CM，BA，交與點E，利用平行線的性質以及等腰三角形的性質得出BE=BC，進而得出DC=AE，再證明△AME≌△DMC即可得出ME=MC，即可得出答案．

解答：證明：延長CM，BA，交與點E，
∵MC平分∠DCB
∴∠1=∠2，
∵BA∥CD
∴∠E=∠2，
∴∠E=∠2=∠1，
∴BE=BC
∵AB+CD=BC，
∴DC=AE，
在△AME和△DMC中，

∠DMC=∠AME ∠1=∠E CD=EA

，
∴△AME≌△DMC（AAS），
∴CM=EM，BM是EC中線（等腰三角形三線合一），
∴BM⊥MC．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及平行線的性質和等腰三角形的性質等知識，根據已知得出DC=AE是解題關鍵．