Question

【題目】已知：在四邊形中， ， ， ， ．

（）求四邊形的面積．

（）點是線段上的動點，連接、，求周長的最小值及此時的長．

（）點是線段上的動點， 、為邊上的點， ，連接、，分別交、 于點、，記和重疊部分的面積為，求的最值．

Answer 1

【答案】（）．（）．3．（）．

【解析】試題分析：（1）如圖1，過A作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，得到四邊形AEFD是矩形，由矩形的想知道的EF=AD=6，BE=CF=3，根據勾股定理得到，于是得到結論；
（2）如圖2，作點B關于直線AD的對稱點G，連接CG交AD于P，則BC+PB+PC=BC+PG+PC即為△BCP周長的最小值，根據勾股定理得到，于是得到△BCP周長的最小值為：4+12；根據三角形中位線的性質得到PH=BC=6，由勾股定理得到，于是得到結論．

（3）過點作的垂線分別交、于、點，過點作的垂線分別交、于、點，過點作的垂線分別交、于、點，如圖所示，設，則．因為，所以∽，得；同理可得∽， ∽，得： ， ，所以，進而求得答案.

試題解析：（）如圖1，過作于， 于．

則四邊形是矩形．

∴， ．

∴．

∴．

（）如圖2，作點關于直線的對稱點，

連接交于，則．

即為的最小周長．

由（）知．

在中， ．

∴的．

∵， ，

∴．

∵，

∴．

（）過點作的垂線分別交、于、點，過點作的垂線分別交、于、點，過點作的垂線分別交、于、點，如圖3所示，設，則．

因為，所以∽，

所以，又，所以；

同理可得∽， ∽，

所以， ，

求得： ， ，其中，

所以，

即

．

因此當時， 有最大值；當或時， 有最小值了．