Question

【題目】如圖，在△ABC中，O是AC上一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F.

（1）求證：EO=FO；（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論；

（3）若AC邊上存在點O，使四邊形AECF是正方形且，求∠B的大小.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）根據MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角對等邊即可證得OE=OF；

（2）根據矩形的性質可知：對角線且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形；

（3）當四邊形AECF是正方形時，可得：AO⊥EF，又BC∥EF，則AC⊥BC，在正方形AECF中，AC=AE，根據，可得：tanB=，故∠B=60°．

解：（1）證明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，

∴OE=OC，OC=OF，

∴OE=OF．

（2）當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，

∵AO=CO，OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，

∴∠ECF=90°，

∴四邊形AECF是矩形．

（3）當四邊形AECF是正方形時，AO⊥EF，AC=AE，

∵BC∥EF，

∴AC⊥BC.

∵，

∴BC= AE，

∴tanB=，

∴∠B=60°．