Question

設S=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+…+

1+ 1 19992 + 1 20002

，求不超過S的最大整數[S]．

Answer 1

分析：首先將

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

化簡，可得

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

，然后代入原式求得S的值，即可求得[S]的值．

解答：解：∵

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2+2n+1 n2 - 2n n2 + 1 (n+1)2

，
=

( n+1 n )2-2• n+1 n • 1 n+1 +( 1 n+1 )2

，
=

( n+1 n - 1 n+1 ) 2

，
=|

n+1

n

-

1

n+1

|，
=1+

1

n

-

1

n+1

，
∴S=1+

1

1

-

1

2

+1+

1

2

-

1

3

+…+1+

1

1999

-

1

2000

=2000-

1

2000

，
∴[S]=1999．
∴不超過S的最大整數[S]為1999．

點評：此題考查了取整函數的應用與二次根式的化簡．注意求得

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

是解此題的關鍵．