Question

設a=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+

1+ 1 32 + 1 42

+…+

1+ 1 20002 + 1 20012

，問與a最接近的整數是多少？

Answer 1

分析：通過上式找出規律，得出通項公式：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

再進行化簡，得結果為1+

1

n(n+1)

，將自然數n代入求出結果，再判斷與a最接近的整數．

解答：解：∵n為任意的正整數，
∴

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+n2+(n+1)2 [n(n+1)]2

=

[n(n+1)]2+2n(n+1)+1 [n(n+1)]2

=

(n2+n+1)2 [n(n+1)]2

=

n2+n+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

，
∴a=(1+

1

1×2

)+(1+

1

2×3

)+(1+

1

3×4

)+…+（1+

1

2000×2001

）
=2000+

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2000×2001

=2000+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+(

1

2000

-

1

2001

)=2001-

1

2001

．
因此，與a最接近的整數是2001．

點評：點撥：①化一般式為有理式，②用裂項法將分數

1

n(n+1)

化成

1

n

-

1

n+1

，然后求和．