Question

如圖，在直角坐標系中，等邊△OAB的邊OB與x軸重合，頂點O是坐標原點，且點A的坐標為（1，

3

），過點A的動直線l從AB出發，以點A為中心，沿逆時針方向旋轉且與x軸的正半軸交于點C，以線段AC為邊在直線l的上方作等邊△ACD．
（1）求證：△AOC≌△ABD；
（2）當等邊△ACD的邊DC與x軸垂直時，求點D的坐標；
（3）在直線L的運動過程中，等邊△ACD的頂點D的坐標在變化，設直線BD交y軸于點E，點E的坐標是否發生變化？若沒有變化，求點E的坐標和直線BD的函數表達式；如果發生變化，請說明理由．
（4）當直線L繼續繞點A旋轉且與x軸的負半軸交于點C，其他條件不變時，等邊△ACD的頂點D是否在一條固定的直線上運動？如果是，請直接寫出這條函數表達式；如果不是，請直接回答“不是”．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質得到AO=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60°，求出∠OAC=∠BAD即可；
（2）過點A作AG⊥X軸，垂足為G，根據A的坐標求出AG、OB，求出∠ACO的度數，求出GC、AG 的長即可得到答案；
（3）過點D作DH⊥X軸，設點D 的坐標為（x，y），根據銳角三角函數的定義得出y=（x-2）

3

=

3

X-2

3

，即可求出答案；
（4）根據已知得到∠AOD=60°，即D在于X軸正半軸夾角為120度直線上運動，求出直線的解析式即可．

解答：解：（1）證明：∵△OAB和△ACD是等邊三角形，
∴AO=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60°，
又因∠OAC=∠OAB+∠BAC，∠BAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠OAC=∠BAD，
∴△AOC≌△ABD．

（2）∵DC⊥x軸，△ACD為等邊三角形，
∴∠DCO=90°，∠DCA=60°
∴∠ACO=∠DCO-∠DCA=30°，
過點A作AG⊥x軸，垂足為G，如圖所示：

∵點A的坐標為（1，

3

），
∴AG=

3

，0B=2OG=2，
在RT△ACG中，∠ACO=30°，
∴AC=2AG=2

3

，GC=

AG

tan30°

=3
∴OC=4，DC=AC=2

3

，
∴點D的坐標為（4，2

3

），
答：點D的坐標為（4，2

3

）．

（3）點E的坐標不變，
由（1）得∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠DBC=180°-60°-60°=60°，
過點D作DH⊥x軸，如圖所示：設點D 的坐標為（x，y），
∴DH=y，OH=x，在RT△DBH中，DH=BHtan∠DBC=BHtan60°=（OH-OB）

3

，
即y=（x-2）

3

=

3

x-2

3

，
即點D始終在直線y=

3

x-2

3

上運動，
則直線y=

3

x-2

3

與Y軸的交點就是所求的點，
故點E的坐標為（0，-2

3

），
所求直線BD的函數表達為y=

3

x-2

3

，
答：點E的坐標為（0，-2

3

），直線BD的函數表達為y=

3

x-2

3

．

．

（4）解這條直線函數的表達式為y=-

3

x，
理由：由條件可知，∠AOD=60°，即D在于X軸正半軸夾角為120度直線上運動，即這條直線的函數表達式為y=-

3

x．

點評：本題主要考查對銳角三角函數的定義，全等三角形的性質和判定，含30度角的直角三角形，等邊三角形的性質，用待定系數法求一次函數的解析式等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．