Question

如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，直線PO交⊙O于點E，F，過點A作PO的垂線BA，垂足為點O，交⊙O于點B，延長AO與⊙O交于點C，連接BC．
（1）求證：直線PB為⊙O的切線；
（2）若AB=FD，且BC=6，求出PE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OB，根據等腰三角形性質求出∠AOP=∠BOP，根據SAS證△PAO≌△PBO，推出∠OBP=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）求出AD=

1

2

AB=

1

2

DF，求出OD=3，設AD=x，則DF=2x，AO=FO=2x-3，在△ADO中，x²+3²=（2x-3）²，求出x=4，證△ADP∽△ADO，求出PD，即可求出答案．

解答：證明：（1）連接OB，
∵PA為⊙O的切線，A為切點，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，PO⊥BA，
∴∠AOD=∠BOD，
在△PAO和△PBO中

AO=BO ∠AOD=∠BOD PO=PO

，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∵點B在⊙O上
∴直線PB為⊙O的切線；

（2）∵PO⊥BA，OA=OB，
∴AD=BD，
∵OA=OC，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

DF，
∴OD=

1

2

BC=3，
設AD=x，則DF=2x，AO=FO=2x-3，在△ADO中，x²+3²=（2x-3）²，
∴x=4，
即AD=4，AO=5，ED=2，
∵∠PAO=∠ADP=∠ADO=90°，
∴∠APD+∠PAD=90°，∠PAD+∠OAD=90°，
∴∠APD=∠OAD，
∴△ADP∽△ADO，

PD

AD

=

AD

DO

，

PD

4

=

4

3

，
∴PD=

16

3

，
∴PE=PD-ED=

10

3

．

點評：本題考查了切線的性質和判定，相似三角形的性質和判定，三角形的中位線定理等知識點的綜合應用．