Question

已知關于x的一元二次方程x²+mx+n+1=0的一根為2．
（1）求n關于m的關系式；
（2）試說明：關于y的一元二次方程y²+my+n=0總有兩個不相等的實數根．

Answer 1

分析：（1）根據根與系數的關系可求x₁+x₂，x₁x₂的值，可先設x₁=2，就可求出m、n的關系式；
（2）利用根的判別式△=b²-4ac，可求具體數值，利用數值來說明方程總有兩個不相等的實數根．

解答：解：（1）根據題意得
x₁+x₂=-

b

a

=-

m

1

，x₁x₂=

c

a

=

n+1

1

，
可設x₁=2，那么
2+x₂=-m，2x₂=n+1，
∴2（-m-2）=n+1，
∴n=-2m-5；

（2）由題意得
△=b²-4ac=m²-4×1×n=m²-4（-2m-5）=m²+8m+20=（m+4）²+4＞0，
∴關于y的一元二次方程y²+my+n=0總有兩個不相等的實數根．

點評：本題利用了根與系數的關系，即一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常數）若有兩根，則兩個根x₁，x₂有這樣的關系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，以及利用了根的判別式△=b²-4ac．