Question

已知在直角坐標系中，點A的坐標是（-3，1），將線段OA繞著點O順時針旋轉90°得到OB．
（1）求點B的坐標；
（2）求過A、B、O三點的拋物線的解析式；
（3）設點B關于拋物線的對稱軸?的對稱點為C，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可通過構建全等三角形來求解．過點A作AH⊥x軸，過點B作BM⊥y軸，根據旋轉的性質可知：OA=OB，而∠MOB與∠AOH都是∠AOM的余角，因此兩角相等，因此這兩個直角三角形就全等，那么OH=OM，AH=BM，由此可得出B點坐標．
（2）根據求出的B點坐標以及已知的A、O的坐標即可用待定系數法求拋物線的解析式．
（3）先根據拋物線的解析式求出拋物線的對稱軸及C點坐標，即可得出BC的長，求三角形ABC的面積時，可以BC為底，以A、B縱坐標差的絕對值為高來求解．
解答：解：（1）過點A作AH⊥x軸，過點B作BM⊥y軸，
由題意得OA=OB，∠AOH=∠BOM，
∴△AOH≌△BOM
∵A的坐標是（-3，1），
∴AH=BM=1，OH=OM=3
∴B點坐標為（1，3）

（2）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c
則．
得
∴拋物線的解析式為y=x²+x

（3）對稱軸為x=-
∴C的坐標為（-，3）
∴S_△ABC=BC•h_BC=×（1+）×2=．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、二次函數解析式的確定、圖形面積的求法等知識．