Question

已知：如圖一次函數y=

1

2

x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B；二次函數y=

1

2

x²+bx+c的圖象與一次函數y=

1

2

x+1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標為（1，0）．
（1）求二次函數的解析式；
（2）求四邊形BDEC的面積S；
（3）在x軸上是否存在點P，使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點P，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據直線BC的解析式，可求得點B的坐標，由于B、D都在拋物線的圖象上，那么它們都滿足該拋物線的解析式，通過聯立方程組即可求得待定系數的值．
（2）根據拋物線的解析式，可求得E點的坐標，聯立直線BC的解析式，可求得C點坐標；那么四邊形BDEC的面積即可由△AEC、△ABD的面積差求得．
（3）假設存在符合條件的P點，連接BP、CP，過C作CF⊥x軸于F，若∠BPC=90°，則△BPO∽△CPF，可設出點P的坐標，分別表示出OP、PF的長，根據相似三角形所得比例線段即可求得點P的坐標．

解答：解：（1）將B（0，1），D（1，0）的坐標代入y=

1

2

x²+bx+c，
得：

c=1 b+c+ 1 2 =0

，
得解析式y=

1

2

x²-

3

2

x+1．（3分）

（2）設C（x₀，y₀）（x₀≠0，y₀≠0），
則有

y0= 1 2 x0+1 y0= 1 2 x02- 3 2 x0+1

解得

x0=4 y0=3

，
∴C（4，3）（6分）
由圖可知：S_{四邊形BDEC}=S_△ACE-S_△ABD，又由對稱軸為x=

3

2

可知E（2，0），
∴S=

1

2

AE•y₀-

1

2

AD×OB=

1

2

×4×3-

1

2

×3×1=

9

2

．（8分）

（3）設符合條件的點P存在，令P（a，0）：
當P為直角頂點時，如圖：過C作CF⊥x軸于F；
∵∠BPO+∠OBP=90°，∠BPO+∠CPF=90°，
∴∠OBP=∠FPC，
∴Rt△BOP∽Rt△PFC，
∴

BO

PF

=

OP

CF

，
即

1

4-a

=

a

3

，
整理得a²-4a+3=0，
解得a=1或a=3；
∴所求的點P的坐標為（1，0）或（3，0），
綜上所述：滿足條件的點P共有2個．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標及圖形面積的求法、直角三角形的判定以及相似三角形的性質等，難度適中．