Question

如圖，已知有四個動點P、Q、E、F分別從正方形ABCD的頂點A、B、C、D同時出發，沿AB、BC、CD、DA以同樣的速度勻速向B、C、D、A移動．
（1）求證：四邊形PQEF是正方形．
（2）PE是否總過某一點，并說明理由．
（3）四邊形PQEF的頂點在何處時，其面積有最小值和最大值，并求其最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形，故可根據正方形的定義證明四邊形PQEF是否使正方形．
（2）證PE是否過定點時，可連接AC，證明四邊形APCE為平行四邊形，即可證明PE過定點．
（3）當對角線最小時，面積最小，對角線最大值時，面積最大．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，
∴BP=QC=ED=FA．
又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．
∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，
∴∠APF+∠BPQ=∠PQB+∠BPQ=90°，
∴四邊形PQEF為正方形；

（2）連接PC、AE，

∵AP平行且等于EC，
∴四邊形APCE為平行四邊形．
∴O為對角線AC的中點，
∴對角線PE總過AC的中點O；

（3）正方形ABCD與正方形PQEF的對角線交點是重合的，
當OP⊥AB時，四邊形PQEF面積最小，為原正方形面積的一半，此時S_{正方形PQEF}=

1

2

S_{正方形ABCD}．
當P與頂點B重合時，面積最大，S_{正方形PQEF}=S_{正方形ABCD}．

點評：本題考查了四邊形的綜合題，在證明過程中，應用了正方形的性質和平行四邊形的判定定理，為使問題簡單化，在證明過程中，可適當加入輔助線，此題難度一般．