Question

如圖所示，銳角△ABC中，∠A的平分線與三角形的外接圓交于另一點A₁，點B₁，C₁與此類似，直線AA₁與B、C兩角的外角平分線相交于A₀，點B₀、C₀與此類似．求證：
①△A₀B₀C₀的面積是六邊形AC₁BA₁CB₁面積的2倍；
②△A₀B₀C₀的面積至少是△ABC面積的4倍．

Answer 1

分析：（1）首先根據內心的性質，得到A₁I=A₁B．根據已知BB₀，BA₀分別是∠B的內角和外角平分線，證得BB₀⊥BA₀，則∠A₁BA₀=90°-∠A₁BI=90°-∠BIA₀=∠BA₀I．得到A₁B=A₁A₀═A₁I，于是有S_△A0BI=2S_△A1BI．同理，還有類似的這樣五個等式，將此六式相加，即得到結論．
（2）∵S_△ABC≤S_△A1BC+S_△AB1C+S_△ABC1．得到2S_△ABC≤S_△AC1BA1CB1．所以S_△A0B0C0=2S_AC1BA1CB1≥2•2S_△ABC=4S_△ABC．

解答：證明：（1）因AA₀、BB₀的交點I是△ABC的內心，易知A₁I=A₁B．
又∵BB₀，BA₀分別是∠B的內角和外角平分線，
∴BB₀⊥BA₀，∠A₁BA₀=90°-∠A₁BI=90°-∠BIA₀=∠BA₀I．
∵A₁B=A₁A₀═A₁I，
∴S_△A0BI=2S_△A1BI．
同理，還有類似的這樣五個等式，將此六式相加，即有S_△A0B0c0=2S_△AC1BA1CB1．
（2）∵S_△ABC≤S_△A1BC+S_△AB1C+S_△ABC1．
∴2S_△ABC≤S_△AC1BA1CB1．
∴S_△A0B0C0=2S_AC1BA1CB1≥2•2S_△ABC=4S_△ABC．
即△A₀B₀C₀的面積至少是ABC面積的4倍．

點評：本題考查了三角形內心的性質：內心是三角形角平分線的交點．也考查了圓周角定理以及三角形的面積公式．