Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=12cm，點P從點B開始沿BA邊以1cm/s的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2cm/s的速度向點C移動、當其中一點到達終點時，另一點立刻停止運動，
（1）當△PBQ的面積為9cm²時，PQ的距離是多少cm？
（2）幾秒鐘后PQ的長度是AC長度的一半？
（3）寫出PQ長度的取值范圍．（以上結果均用最簡二次根式表示）

Answer 1

分析：由于線段BP與線段BQ是隨著時間以一次函數增加，故可以考慮PQ的長度和△BPQ的面積都用BP與BQ表示
即：S三角形BPQ=

1

2

BP×BQ
利用勾股定理：
有：PQ²=BP²+BQ²
即：PQ=

BP2+BQ2

列出△BPQ及PQ關于時間的函數進行求解．

解答：解：設時間為t秒
∴BP=t （0≤t≤5）
BQ=2t （0≤t≤6）
∴①S三角形BPQ=

1

2

BP×BQ
=

1

2

×t×2t
=t²
其中0≤t≤5
②PQ²=BP²+BQ²
=（t）²+（2t）²
=5t²
其中0≤t≤5
（1）當S_三角開BPQ=9時
即：t²=9
∴t=3
∴PQ=

5

t=3

5

（2）AC=

AB2+BC2

=

52+122

=13
PQ=

1

2

AC
即：

5

t=

1

2

×13
∴t=

13 5

10

（3）∵PQ=

5

t隨著時間增加而增大
∴①當t=0時，PQ最小為0．
②當t=5時，PQ最大為5

5

即0≤PQ≤5

5

點評：此題運用函數的思想，找出△BPQ面積及PQ長度隨時間t的變化關系，列出函數表達式，再利用函數列出表達式代入數值進行求解