Question

如圖所示，Rt△ABC是一張放在平面直角坐標系中的紙片，點C與原點O重合，點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，已知OA＝3，OB＝4．將紙片的直角部分翻折，使點C落在AB邊上，記為D點，AE為折痕，E在y軸上．

(1)在圖所示的直角坐標系中，求E點的坐標及AE的長．

(2)線段AD上有一動點P(不與A、D重合)自A點沿AD方向以每秒1個單位長度向D點作勻速運動，設運動時間為t秒(0＜t＜3)，過P點作PM∥DE交AE于M點，過點M作MN∥AD交DE于N點，求四邊形PMND的面積S與時間t之間的函數關系式，當t取何值時，S有最大值？最大值是多少？

(3)當t(0＜t＜3)為何值時，A、D、M三點構成等腰三角形？并求出點M的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) 　　據題意，△AOE≌△ADE 　　∴OE＝DE，∠ADE＝∠AOE＝90°，AD＝AO＝3 　　在Rt△AOB中， 　　 　　設DE＝OE＝x 　　在Rt△BED中 　　BD2＋DE2＝BE2 　　即22＋x2＝(4－x)2 　　解得 　　∴E(0，) 　　在Rt△AOE中 　　 　　(2)∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE＝90° 　　∴四邊形PMND是矩形 　　∵AP＝t×1＝t 　　∴PD＝3－t 　　∵△AMP∽△AED 　　∴ 　　∴PM＝ 　　∴ 　　∴或 　　當時 　　 　　(3)△ADM為等腰三角形有以下二種情況 　　①當MD＝MA時，點P是AD中點 　　∴ 　　∴(秒) 　　∴當時，A、D、M三點構成等腰三角形 　　過點M作MF⊥OA于F 　　∵△APM≌△AFM 　　∴AF＝AP＝，MF＝MP＝ 　　∴OF＝OA－AF＝3－ 　　∴M(，) 　　②當AD＝AM＝3時 　　△AMP∽△AED 　　∴ 　　∴ 　　∴ 　　∴(秒) 　　∴當秒時，A、D、M三點構成等腰三角形 　　過點M作MF⊥OA于F 　　∵△AMF≌△AMP 　　∴AF＝AP＝，FM＝PM＝ 　　∴OF＝OA－AF＝3－ 　　∴M(，)