Question

【題目】如圖,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于點D,BC的中點為M,ME∥AD,交BA的延長線于點E,交AC于點F.求證:

（1）AE=AF;
（2）BE= (AB+AC).

Answer 1

【答案】
（1）證明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵AD∥EM,
∴∠BAD=∠AEF,∠CAD=∠AFE.
∴∠AEF=∠AFE.
∴AE=AF.
（2）證明:如圖,在BE的延長線上截取EG=BE,并連接CG.

∵BM=CM,∴EM為△BCG的中位線.
∴EM∥CG.∴∠AGC=∠AEF,∠ACG=∠AFE.
∵∠AEF=∠AFE,
∴∠AGC=∠ACG.
∴AG=AC.
∴BE= BG= (AB+AG)= (AB+AC)
【解析】（1）根據角平分線的定義得出∠BAD=∠CAD，再根據平行線的性質得出∠BAD=∠AEF,∠CAD=∠AFE，就可證得∠AEF=∠AFE，然后根據等邊對等角即可證得結論。
（2）在BE的延長線上截取EG=BE,并連接CG，構造△ACG的中位線得出EM∥CG，根據平行線的性質證得∠AGC=∠AEF,∠ACG=∠AFE，再根據∠AEF=∠AFE，從而得到∠AGC=∠ACG，根據等角對等邊證出AG=AC，然后根據BE= BG，就可證得結論。